世界性有解的数学难题 数学问题解决及其教学

     

摘要：数学问题是以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题。它来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。问题解决中的“问题”主要是指那些非常规的，或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题，其设计要遵循可行性、渐进性、应用性等原则。问题解决教学要通过创设情境来激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程，从而培养使用数学的意识、探索精神和实际操作能力。教学中，要注重发挥学生的主体作用和教师主导作用，二者相辅相成，不可偏废。

关键词：数学问题；设计原则；数学问题解决；教学

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20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。由于它的研究与开发不仅关系到如何提高学生的科学文化素质、思想品德素质和教学质量问题，而且也与中小学数学教学内容、课程设置、教材教法、教学模式等各项改革密切相关，是一个领域广阔的研究阵地，所以受到国内外许多研究机构、专家、学者及广大教师的普遍关注。对于什么是问题解决，也有一些不同的观点和看法。1988年发表的美国《21世纪的数学基础》认为，问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情境中的过程，而学习数学的主要目的在于问题解决。最近20年来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决能力作为数学教学的主要目的之一。英国1982年的报告认为问题解决是那种把数学用之于各种情况的能力，并针对当时英国教育界的情况，呼吁教师要把“问题解决”的活动形式看作教或学的类型，看作课程论的重要组成部分而不应当将其看成课程附加的东西。不论是教学过程，还是教学目的，也不论是教学方法，还是教学内容，作为国际数学教育的核心和数学教育改革的一种新趋势，数学问题解决已成为当前数学教育研究的重要课题。

一、数学问题

对于什么是数学问题，虽然目前尚无统一看法，但大体说来，它有以下特点：一是非常规性；二是重视情境应用，给出一种情境，一种实际需求，以克服一种现实困难为标志；三是探究性。[1]从历史角度来看，正是问题的提出、探究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意义上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决的历史。

（一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”

由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。

数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。

纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。

（二）数学问题的类型及其数学教育价值

由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。

1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[2](1)

2.探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。

3.开放性问题。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。例如，在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sinA+sinC=2sinB，成等差数列，等等。[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。

二、数学问题的设计原则

如前所述，问题解决中的“问题”主要是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。“问题”常常给出联系实际的情境，主体必须要将它数学化，并且必须探究解决问题的策略（数学方法）。数学问题的设计是数学问题解决教学的基础。要使问题解决教学取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力；具有多种不同的解法或有多种可能的解答，即开放性；能推广或扩充到各种情形。[3]数学问题除了应具备以上特点，在设计时还要遵循以下原则。

1.可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。例如，在初中阶段，学生学习了圆的有关性质以后，可以设计一道关于找圆心的问题。给学生一张上面画有一个圆的纸，提出问题：我们怎样确定这个圆的圆心？学生通过实际操作，可以用许多不同的方法获得答案。其中用到的数学知识有“半圆上的圆周角是直角”的定理，“弦的垂直平分线通过圆心”的性质，等等。[2](185)在小学高年级，甚至在中学阶段，可以将“六角星”问题，即“如何把

1、

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4、

5、

6、

7、8、9、10、1

1、12这些数填在六角星中各条线段的交点上，使每条线上四个数字之和都等于26”提供给学生进行探究。“六角星”问题是一个寓教于乐、数形结合的典型的开放性问题，并可进行不同的条件变化，得到许许多多不同的解。[4]

2.渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。如当学生观察下面这些等式：1·2·3·4+1=？，2·3·4·5+1=？，3·4·5·6+1=？，4·5·6·7+1=？时可以发现，它们分别等于5，11，19，29的平方。这时可以提出问题：“从这些等式中你能发现什么规律？”当学生通过探索发现并提出一种归纳猜想时，可以进一步提出证明猜想的问题。然后，再进一步让学生观察类似的问题：1·3·5·7+16=？，3·5·7·9+16=？，5·7·9·11+16=？，7·9·11·13+16=？……能不能提出类似的猜想？进而，从等差数列的角度，能否再提出几个类似的问题？最后，能否把上面这些问题的共同规律找出来？这样，根据由浅入深、由易到难、循序渐进的原则，依次提出问题，逐步展开问题的探究，不仅可以把学生的探究活动步步引向深入，而且还可以培养学生学习数学的兴趣。

3.应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中世界性有解的数学难题，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。义务教育阶段的数学课程，特别强调学生用数学的意识的培养。“应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”[2](5)例如，在学生已经掌握三角形中边角关系及平面上周角的有关知识后，可给出这样的问题：“有若干个城市，它们之间的距离彼此互不相等。如果从每个城市都起飞一架飞机到离该城市最近的城市降落。证明：每个城市降落的飞机都不超过五架。”这个问题可以通过构造平面几何模型，应用简单的几何知识得到解决。[5]

三、数学问题解决及其教学

如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。

1.分析问题背景，寻找数学联系。通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。分析问题的步骤非常重要，万事开头难，只要攻破了这一关，学生就会信心倍增，就会以更高的热情投入到后面问题的探讨中去。在学生自主分析的同时，教师可在关键处给以必要的指导和点拨，以控制教学的进度，提高课堂教学效率。

2.建立数学模型。在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。

3.求解数学问题。根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。

4.检验。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。

5.交流和评价。在学生进行研讨、解决问题的过程中，教师要通过巡回观察及时了解和掌握学生的学习进度，对于有困难的学生及时给予必要的指导，也可以作为学生的伙伴和助手，参加到学生的探究活动中去。在多数学生完成任务以后，可组织学生进行交流，然后对各种模型进行评价。学生通过交流、评价，进一步完善各自的模型，同时也达到互相学习、取长补短、共同提高的目的。

6.推广。如果问题得到了解决，看它是否可以进行推广。如果解决过的问题是一个具体问题，就可引导学生通过归纳、类比和猜测，得到普遍的结论，然后再证明这个结论。例如，在学生学习过二次函数求最大（小）值及等差数列的有关知识后，可设计这样一个实际问题：一幢33层的大楼有一部电梯停在第1层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯不满意度是1，往上走一层楼梯不满意度是3。现在32人打算下到第1层且他们分别住在第2层至第33层的每一层。如果你是一名电梯管理员，请你确定将电梯停在哪一层可以使这32人的不满意度达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼。）

在解决此问题的基础上，可推到一般情形n层楼时。

数学问题解决教学是通过创设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。由于问题解决教学是近年来受到广泛重视的一种教学模式，它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。[6]所以，问题解决教学是通过高水平的思维来进行学习，来建构知识的。

传统的教学模式比较重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多。学生机械地模拟一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。在中小学数学课程中体现问题解决的思想，在课堂教学中采用问题解决的教学模式，为克服上述问题开辟了一条有效的途径。应当看到，在解决来自实际和数学内部的数学问题中，问题解决的过程和方法是基本相同的。不仅如此，这种过程和方法与解决一般的、其他学科中问题的过程和方法有很多共同之处。在数学问题解决中学习的过程和方法可以迁移到其他学科的问题解决过程中。因而通过数学问题解决，可以较快地教给学生一般的问题解决的过程和思想方法，从而提高学生的综合素质和能力。

在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导和点拨。因此，在一些典型的数学问题解决教学中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。

参考文献：

[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集［M］.上海：华东师范大学出版社，1996.

[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.

[3]奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001.

[4]于琛.数学问题的解决［M］.长春：东北师范大学出版社，2000.

[5]钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社，1999.

[6]奥苏贝尔，等.教育心理学──认知观点［M］.佘星南，等，译.北京：人民教育出版社，1994.

文档介绍：四千禧七大难题

2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。

1、黎曼猜想。见二的 3

透过此猜想,数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外,对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。

2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills and Mass )

西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论,杨振宁由数学开始,提出一个具有规范性的理论架构,后来逐渐发展成为量子物理之重要理论,也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子,而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是,这个粒子具有电荷但没有质量。然而,困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的,那麼为什麼没有任何实验证据呢?而如果假定该粒子有质量,规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量,因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。

3、P 问题对NP 问题(The P NP )

随著计算尺寸的增大,计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是 Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n,d (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时,我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素,例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」,这类的问题就是「NP 问题」,NP 是Non time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说世界性有解的数学难题,P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢?或者NP 问题终究也成为P 问题?这就是相当著名的PNP 问题。

4、.纳维尔–史托克方程(– )

因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正,在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导,将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷(Leray)证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解( weak )之后,人们一直想知道的是此解是否唯一?得到的结果是:如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解( ),则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大,有没有可能弱解会等於强解?换句话说,是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解?再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献,特别是乱流()都会有决定性的影响,另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系,研究纳维尔–史托克(尤拉)方程与波兹曼方程( )两者之关系的学问叫做流体极限(

发展创新思维提高物理教学效率研究

物理学科是一门和自然、生活 紧密联系的学科,在生活中的一些现象,都能运用物理知识来解释。在初中物理教学中,教师要改变传统的教学模式,用新的教学理念来进行教学设计,激发学生的 学习兴趣,让学生从生活中发现物理现象,并运用物理知识进行解决,拉近物理学科和学生的距离。下面是小编搜集整理的相关内容的论文，欢迎大家阅读参考。

摘要：文章从借助现代手段构建新型教学模式、引导学生非常规多元化思维、鼓励学生大胆创新敢于求异几方面研究发展创新思维提高物理教学效率的策略。要鼓励学生走出固有思维，大胆创新假设，实现初中物理的教学目标。

关键词：创新思维;教学效率;初中物理;教学模式

在信息多元化、经济全球化的背景下，需要以知识为载体的创新性思维。作为培养学生逻辑思维认知规律的物理课程，物理教师则需要担负起培养学生创新思维的责任，通过不断探索来提高学生的创新能力，实现物理的教学目标。

一、借助现代手段构建新型教学模式

1.1适应新课改，需要教师加强教学理念和教学方法的创新，而教学模式作为教学理念和教学方法的外在表现，则需要教师建立新型教学模式。新型教学模式同以往传统教学模式有所不同的是它既能够让学生掌握课堂知识，又能够创建轻松愉快的课堂氛围，建立融洽的师生关系。具体来说，在课堂教授过程中无论是教师对整个课堂的课程安排，还是对学生有意识的思维引导，都需要建立在平等的'基础上，这样学生和教师处于同样的高度，学生可以领悟教师思维生活中的物理论文2000，教师可以考虑学生的学习状况。这种开放式的教学情境可以有效活跃课堂氛围，但这距离建立真正的新型教学模式还有一定距离。丰富的信息反馈对于建立真正有效的新型教学模式有很大的帮助，它能够及时向教师反映学生的学习理解情况。

1.2在学生认知结构方面出现差错时，教师可以借助实际案例，结合多媒体设备，引导学生走出思维误区。比如，在学习“物态变化”时，学生对“升华”这一概念不能够透彻理解或出现与其他物态变化现象混淆等情况。由于用语言或实验反映物体在升华过程中是吸热还是放热有些抽象，此时可借助PPT让学生观看具体升华现象，这样学生对其动态变化过程便能够有清晰的认识，加深学生的理解。在这样的教学过程中，教学模式的转变激发了学生的好奇心，也培养了学生的创造性思维。

二、培养学生非常规多元化思维

2.1在传统的物理训练中，学生的常规思维训练占据主导地位，而非常规训练却不足。但在物理解题或是思考过程中，传统的思维解题有时候会影响学生的解题速度，而用非常规方法来解题可能会更方便快捷，能够培养学生的创新性。一般的非常规思维有逆向思维和假设思维，这些解题方法对一些物理选择题和填空题有很大的帮助。而如果习惯于运用非常规思维来解题，就能够打破传统思维的束缚，学生的创新性便能够得到提高。但非常规思维需要依赖于常规思维。教师在教授知识时，既要注意培养学生的非常规思维，也要时刻注意将常规思维贯穿到解题步骤中，两者相辅相成，才能提高解题效率，真正培养学生的创新思维。

2.2比如，在学习“弹力”时，由于弹力表现形式抽象，学生难以理解，此时运用假设思维方法就能够简单解释物体是否受弹力作用。如图所示，判断小球是否受到斜面弹力的作用。如果只是单纯地分析小球的受力，难以准确判断。此时教师可以引导学生假设思维，如果斜面被撤走，学生想象小球是否运动，很显然小球不会运动，一直保持在竖直位置，所以小球不受斜面弹力的作用。这种非常规的假设方法，可以帮助学生理解物体的运动规律，促进学生的创新思维。

三、鼓励学生大胆创新敢于求异

3.1求异是坚持自己独特的见解。而学生的“异类”思维背后蕴藏的是大胆的猜想和假设，这些都是创新的基础。在探究过程中，学生要尽可能地创新求异，教师要时刻激励学生创新求异，激发学生的自信心和创新欲望。在物理习题中，常常会出现一题多解，所以教师可以引导学生发掘多种解法，使学生的知识更加系统化，实现知识之间的相互联系，使学生养成思考探究创新的好习惯。

3.2比如，有一道常规物理习题：用一根导火线来引爆炸药，如果导火线燃烧的速度是0.9m/s，而人奔跑的速度是5m/s，那么人能否到达安全区?一些学生会想到根据导火线的长度来计算导火线完全燃烧所需要的时间，再计算人到达安全区所需要的时间，这样两个时间进行比较来判断人是否能够安全撤离。教师告诉学生此题有多种解法，让学生再想一想其他解题方法。学生会想到根据人撤离到安全区所需要的时间，此段时间内导火线会燃烧多少米，看导火线是否全部燃烧，这样也可以达到解题的目的。

3.3还有学生想到在人撤离到安全区所需要的时间内，假设这一时间导火线完全燃烧计算出导火线燃烧的速度，将这一速度与题中给的速度作比较，来判断是否可以到达安全区。由此看出，一个普通的题目，学生可以发散性地寻求多种解题方法，而在学生找寻这些解题方法时，就突破了原有思维的束缚，创新性地得到其他解题方法。

四、结束语

教师应注重培养学生的创新性思维，培养学生的变通性。对于初中物理来说，创新思维的运用更加广泛，可以使学生快速解题，也可以使学生充分理解一些物理抽象规律。所以，教师要在课堂中尽量培养学生的创新性，鼓励学生走出固有思维，大胆创新假设，从而培养学生的创新思维。

参考文献：

[1]胡枫华.新课程背景下初中物理有效教学研究[J].中学课程资源,2008(04).

[2]贺梦冬.初中物理教学中思维能力的培养[D].湖南师范大学,2004.

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作为一家教育科技公司学习大数据要什么基础，作业帮自成立以来，始终以科技洞悉教育，不断挖掘大数据背后的全国学情，并与北京师范大学联合启动“互联网+教育大数据研究项目”研究重点课题，在海量数据收集的基础上，探索数据背后的学习规律和精准需求，取得了一些成果。在此次校长大会上，作业帮执行总裁苏静正式发布《学习的真相：全国K12学情大数据及学习洞察》报告，2万TB教育大数据、1万余专业师资团队的分析、研发，为这些成果提供了有力支撑。

（作业帮执行总裁苏静发布全国K12学情大数据）

数据显示，在线学习的方式已经渗透到全国各地，成为各地学生的主流学习方式之一。我国不同等级城市的学生使用在线教育平台拍搜或上网课的时间多在2年以上，且新用户在不断增多。在使用时间总指数上，三四线城市排名最高，忠实用户占比最高，其次为二线城市、特大城市和非城市，但各等级城市之间相差不大。

报告重点关注了52个国家贫困县中小学生课外在线学习情况。截止今年10月1日，已有336万来自贫困县的中小学生在作业帮平台学习。值得一提的是，从2019年开始，这些地区的用户增长率远高于作业帮平均用户增长率，说明贫困县中小学生对优质教育资源需求强烈。

在作业帮平台，贫困县学生报名免费公益课的比例，相比北京学生高出9.62%。在线上课程的选择方面，贫困县地区的高中生更加需要物理、英语、语文。这说明，当地教育环境对学生物理实验学习、文科视野有一定限制。

大招课直击不同学段“痛点”

依据2.5亿大数据题库和多维度的学情报告，作业帮教研团队揭开了“学习的真相”，直击学习痛点。

小学辅导教学部负责人林大伟表示，作业帮小学团队通过比对教材要求和全国各地实际水平发现：“小学六年阅读量不低于145万字”、“小学三年级已经开始读文言文”、“考了100分并不代表真正具备数学思维”“近十年来小学英语的难度提升了15倍”等，成为小学教学需要集中解决的痛点。

初中教研教学负责人刘杨介绍，初中团队根据各地实际命题趋势、全国初中生大样本量考试数据得出“十年前的高考语文题就是现在的中考语文题”、“初中数学不是难，而是太容易丢分了”等结论，对相关课程的研发提供了方向指引。

高中教研教学负责人文煦刚也表示，“一线城市学生的高考英语成绩比三四线城市高出几十分”、“大部分同学高一第一学期就听不懂物理”等教育资源不均衡及学生学情差异现象，对高中分层、分科、分地域差异化教学带来启发。

为解决不同学段的“痛点”，此次，作业帮也给出了解决方案，推出“名师大招”创新课程体系。该体系由作业帮小初高学部学科教研团队历时数年研发、打磨，注重学习兴趣建立、学科思维养成、学习方法优化、学习习惯修正、学习效果提升，基于每一科建立全面的知识点模型及解题“大招”方法体系，指导学生用科学的学科思维方法快速提升学习效果。

“黑科技”驱动教育进步

作为一家在线教育企业，作业帮的骨子里带有浓厚的技术基因。从诞生之初，就专注于技术研发，其赖以扬名的“拍照搜题”功能，也是得益于AI技术、语义理解技术、深度学习技术、OCR技术等多种技术的加持，才成为行业级的“爆款”。

此次校长大会，作业帮向来自全国的600余位教育名家和校长集中展示了多款面向K12人群的教育黑科技和硬件产品，包括专门为小学低年级开发的数学“黑科技”课件Cocos；AI智能伴学系统“雪球”；让几何学习更直观的数学画板；以及为了拉平“实验”区域差距开发的iLab虚拟实验室等。这些应用实现了手势识别、专注力检测、离席检测等功能，甚至还能检测到学生距屏幕的距离，以有效提示、保护青少年视力。这些“黑科技”，不仅是深化教育改革创新的探索成果，更为教育的线上线下融合提供了借鉴。

作业帮执行总裁苏静表示，目前，作业帮直播课累计服务学员已超6200万人。全国中小学生，每10人中就有7个是作业帮的学生。未来，希望用教育+科技的力量，以大数据+专业师资搭建的现代化教研体系，为在线教育发展、线上线下教育融合尽到一份力量。

大情怀持续推动教育普惠

“在推动教育普惠、促进教育公平的进程中，在线教育企业应有更多担当。”作业帮联合创始人所晖在本次校长大会开幕式致辞中表示，中国有超过1.94亿中小学生，他们面临着两个很大的问题：第一，70%的人群分布在三线以下城市，这些地区面临教育资源的不均衡，亟需优质教育资源。第二，教育资源供给有限，1.94亿中小学生，对应的老师的规模不超过2000万。

“教育资源的不均衡一直是中国教育的痛点，而在线教育的最大价值，就是普惠。”所晖表示，2015年作业帮创立时的初心，就是希望通过技术解决教育资源供给和均衡的问题。她说，在此之前，整个教培体系从不缺乏优秀的老师和优质的内容，缺乏的是把这些资源放大、迁移、匹配的便捷管道。

“而通过技术赋能，在线教育搭建起了这样的基础管道。”所晖认为，在促进教育公平、推动教育普惠方面，在线教育企业应该发挥更大的能量，承担更多的责任，为广大欠发达地区的孩子通过知识改变命运提供更多可能。

作为国内用户规模最大的K12在线教育平台，作业帮先后在超过8亿台智能设备上被激活，每月连接超过1.7亿用户，这一积累构成了这个管道最底层的能力。并且与中国1.94亿中小学生的地区分布结构一致，作业帮超过70%的用户来自三线及以下城市，这显示出管道的普惠能力。因此，在促进教育公平、推动教育普惠方面，在线教育企业可以发挥更大的能量，因此也应当承担更大的责任，为广大欠发达地区的孩子通过知识改变命运提供更多可能。