世界性有解的数学难题 世界七大数学难题 世界最难的数学题

     

今天我们来和大家说说世界七大数学难题世界性有解的数学难题，这些可都是世界上最难的数学题哦。

说到世界七大数学难题你会想到什么，我最先想到的是哥德巴赫猜想，但其实哥德巴赫猜想并不是世界七大数学难题之一，下面就让我们来一起看看当今科技如此发达的情况下还有哪些能被称为世界七大数学难题吧。

所谓的世界七大数学难题其实是于2000年5月24日由由美国克雷数学研究所（Clay ,CMI）公布的七个数学难题。也被称为千禧年大奖难题（ Prize ）。

根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金100万美元。

这些难题是呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。

世界七大数学难题分别是：世界七大数学难题之一：P/NP问题

P/NP问题是在理论信息学中计算复杂度理论领域里至今没有解决的问题，它也是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。P/NP问题中包含了复杂度类P与NP的关系。1971年史提芬·古克（ A. Cook）和 Levin相对独立的提出了下面的问题，即是否两个复杂度类P和NP是恒等的（P=NP?）。

复杂度类P即为所有可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP由所有可以在多项式时间内验证解是否正确的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合。很可能，计算理论最大的未解决问题就是关于这两类的关系的：

P和NP相等吗？

在2002年对于100研究者的调查，61人相信答案是否定的，9个相信答案是肯定的，22个不确定，而8个相信该问题可能和现在所接受的公理独立，所以不可能证明或证否。[1] 对于正确的解答，有一个1,000,000美元的奖励。

NP-完全问题（或者叫NPC）的集合在这个讨论中有重大作用，它们可以大致的被描述为那些在NP中最不像在P中的（确切定义细节请参看NP-完全理论）。计算机科学家现在相信P, NP，和NPC类之间的关系如图中所示，其中P和NPC类不交。

假设P ≠ NP的复杂度类的图解。如P = NP则三个类相同。

简单来说，P = NP问题问道：如果是／不是问题的正面答案可以很快验证，其答案是否也可以很快计算？这里有一个给你找点这个问题的感觉的例子。给定一个大数Y，我们可以问Y是否是复合数。例如，我们可能问是否有非平凡的因数。答案是肯定的，虽然手工找出一个因数很麻烦。从另一个方面讲，如果有人声称答案是”对，因为可以整除″，则我们可以很快用一个除法来验证。验证一个数是除数比找出一个明显除数来简单得多。用于验证一个正面答案所需的信息也称为证明。所以我们的结论是，给定正确的证明，问题的正面答案可以很快地（也就是，在多项式时间内）验证，而这就是这个问题属于NP的原因。虽然这个特定的问题，最近被证明为也在P类中（参看下面的关于”质数在P中”的参考），这一点也不明显，而且有很多类似的问题相信不属于类P。

像上面这样，把问题限制到“是／不是”问题并没有改变原问题（即没有降低难度）；即使我们允许更复杂的答案，最后的问题（是否FP = FNP）是等价的。

关于证明的难度的结果

虽然百万美元的奖金和投入巨大却没有实质性结果的大量研究足以显示该问题是困难的，但是还有一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决。

最常被引用的结果之一是设计神谕。假想你有一个魔法机器可以解决单个问题，例如判定一个给定的数是否为质数，可以瞬间解决这个问题。我们的新问题是，若我们被允许任意利用这个机器，是否存在我们可以在多项式时间内验证但无法在多项式时间内解决的问题？结果是，依赖于机器能解决的问题，P = NP和P ≠ NP二者都可以证明。这个结论带来的后果是，任何可以通过修改神谕来证明该机器的存在性的结果不能解决问题。不幸的是，几乎所有经典的方法和大部分已知的方法可以这样修改（我们称它们在相对化）。

如果这还不算太糟的话，1993年和证明的一个结果表明，给定一个特定的可信的假设，在某种意义下“自然”的证明不能解决P = NP问题。[2] 这表明一些现在似乎最有希望的方法不太可能成功。随着更多这类定理得到证明，该定理的可能证明方法有越来越多的陷阱要规避。

这实际上也是为什么NP完全问题有用的原因：若对于NP完全问题存在有一个多项式时间算法，或者没有一个这样的算法，这将能用一种相信不被上述结果排除在外的方法来解决P = NP问题。

世界七大数学难题之二：霍奇猜想

霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。

世界七大数学难题之三：庞加莱猜想

庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（俄语：Григорий Яковлевич Перельман）完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖。

基本描述

在1900年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。不过，他在1904年发表的一篇论文中，举出了一个反例，现在称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。他提出以下猜想：

任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。

该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，现在已经知道，它对于任何维数都是对的。

证明历史

20世纪

这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. ）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。

1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（ Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和 声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼（ ）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。

1982年，理查德·哈密顿引入了“里奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。

21世纪

俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼

在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

2010年3月18日，克雷数学研究所对外公布，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖[7][8]。

最终证明争议

2006年6月3日，曹怀东和朱熹平公开声称佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明中有漏洞，由他们补全，做出最终证明，于《亚洲数学期刊》发表论文。据报道，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平才是第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。

2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。”[11]， 因曹怀东与朱熹平的论文未经同行评审，丘成桐被质疑以期刊主编的身份，发表有利于他们研究团队的论文成果。此文发表后，引发了很大争议。丘成桐表示可能采取法律行动，由律师发出信函，要求杂志更正，包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价。

一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由 于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿－佩雷尔曼证明》（- ’s Proof of the and the ）中，曹怀东与朱熹平不再宣称是由他们做出最终证明，他们的工作只是对汉米尔顿－佩雷尔曼证明做出详尽阐述。

世界七大数学难题之四：黎曼猜想

黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼（ ）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题(猜想界皇冠)。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理

等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。

黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部分数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。

历史

黎曼1859年在他的论文《über die der unter einer Gr??e》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ? + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。

1896年，雅克·阿达马和 Jean de la Vallée-分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 s)

1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第8号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？[1]

1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ?上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线Re(s) = ?上的平均密度。

近年来的工作主要集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。

世界七大数学难题之五：杨-米尔斯存在性与质量间隙

杨－米尔斯规范场论与质量间隙是理论物理中规范场论的一道基础问题，必须在数学上严格证明杨－米尔斯场论存在（即需符合构造性量子场论的标准），亦要证明它们有质量间隙，即模型所预测的最轻单粒子态为正质量。2000年，克雷数学研究所悬赏各一百万元的数学七大千禧年难题，其中一道题为杨－米尔斯规范场论同质量间隙。

背景

我们所知多数非凡（）－－即有相互作用－－的4维量子场论皆有 scale的有效场论。因多数模型的beta-函数是正的，似乎大多数这类模型皆有一支 pole，因我们完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。故此，若每一scale上皆定义有这样的量子场论[注 1]，它只可能为单纯的自由场论。

然而，有不可交换结构群的杨-米尔斯理论（无夸克）例外。它有一种性质称为渐近自由，指它有一单纯的紫外定点。因此，我们可以寄望它成为非凡的构造性（）四维量子场模型。

不交换群Yang-Mills理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明，但未有符合数理物理严谨性的证明[注 3]。基本上，换言之，过了QCD尺度（或者这里应称为禁闭尺度，因为无夸克），那些色荷粒子被色动力学的“流管”连着，所以粒子间有线性势（“弦”张力x长度）。所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应，我们应见到零质量的胶子；但因它们被禁闭，我们只见到不带色荷的胶子束绑态——胶波。凡胶波皆质量，所以我们期望质量间隙。

格点规范场论的结果令不少工作者相信，这个模型真的有禁闭现象（由圈的真空期望值的下降的“面积规律”(area law)看出），但这项结果还没有符合数学的严慬性。

世界七大数学难题之六：纳维-斯托克斯存在性与光滑性

纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。

纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。纳维－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。

许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这様的解存在时，其动能有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。

由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关信息的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题。

部分结果

二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。

在初速

相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解。

若给定一初速

，且存在一有限、依

而变动的时间T，使得在

的范围内，纳维-斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过T后，是否仍存在平滑的解。

数学家让·勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足。

世界七大数学难题之七：贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（英文：Birch and -Dyer ），简称为BSD猜想。

设

是定义在代数数域

上的椭圆曲线，

是

上的有理点的集合，已经知道

是有限生成交换群。记

是

的L函数，则此猜想如下：

数学家总是被诸如

那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。

好吧，我承认我确实看不懂这世界七大数学难题是什么东西，我想大多数人也和我一样，根本不知道这讲的是什么，还是期待那些个神人去解答这些问题吧。

小学数学故事：世界七大数学难题黎曼假设

世界七大数学难题，它们就像一道道亮丽的风景，吸引着世界各国的数学家的注意。世界七大数学难题分别是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想，这七个问题都被悬赏一百万美元。今天我们来介绍一下黎曼假设。

世界七大数学难题：黎曼假设

1、黎曼假设简介

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在

所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎

曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个

解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

2、黎假设的背景

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努

力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。

3、黎曼猜想的描述

与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的

重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题。目前有消息指尼日利亚教授奥派耶米伊诺克

()成功解决黎曼猜想，然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。

历史上关于黎曼猜想被证实的闹剧时常传出，近日所谓黎曼猜想被尼日利亚籍教授证明的网文中并没有说明克雷数学研究所已经承认并授予奖金，克雷数学研究所官网目前并无任何表态，而学界专业评价趋于消极。

4、黎曼猜想的解决

据英国《每日邮报》11月17日报道，近日，尼日利亚教授奥派耶米伊诺克(

Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。黎曼猜想由德国数学家黎曼

()于1859年提出，其中涉及了素数的分布，被认为是世界上最困难的数学题之一。2000年，美国克莱数学研究所(Clay

)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。

自从费马大定理于20世纪90年代得以解决后，黎曼问题便成为数学界最著名、最受争议的问题。该问题中最简单的部分在于其中所有质数的分布并不遵循

规律。伊诺克博士在尼日利亚某大学任教。他表示，自己在2010年取得关键性突破，这为后来能够解决这一千年难题奠定了基础。他说，自己之所以决定解决这

一著名的数学难题不是为了奖金，而是因为自己的学生。正是因为学生们相信自己，他才开始尝试解决这一数学难题。

然而，克莱数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题，只是简单表示对这些千年数学难题的解决办法不予评论。

其实虽然因素数分布而起，但是却是一个歧途，因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们世界性有解的数学难题，素数与伪素数由它们的变量集决定的。

2018江苏高考英语考试正在进行，那么今年江苏高考英语卷难不难，相比往年江苏2018高考文科英语卷难度系数怎么样，下面小编整理关于江苏高考英语卷相关的点评希望可以起到参考作用。

今年考生普遍反映试卷比去年难度增加，阅读理解没有一篇记叙文。那么，今年试题究竟考察哪些内容?考试结束，速新闻记者采访了宿迁市泗洪中学齐杏芝老师。齐老师毕业于澳大利亚昆士兰科技大学，英语教育学硕士，现任教江苏省泗洪中学高三年级，为核心备课组成员、县英语学科带头人，曾多次荣获市、县优课评选、基本功比赛一、二等奖，辅导学生荣获全国中学生英语能力竞赛全国一、二等奖及全国创新英语大赛华东赛区一、二等奖等等。齐老师阅读完全部试题后，分题型对今年试题进行详细解读。

听力难度稳定 单项选择稳中求新

齐老师称，今年听力难度基本与往年持平，朗读者语速适中，发音清晰，是学生较为熟悉的标准音。听力整场用时18分钟10秒左右(不含听力试音和涂卡时间)，比2016年听力略长一些，信息点较多，但仍贴合2017江苏高考考试说明。

听力话题覆盖面广且与日常生活息息相关，包括：电影、旅行、问询、点餐、会晤安排等。考查形式仍以细节信息捕捉、意图推断、主旨归纳等题型为主。但个别题目设置较为灵活，侧重考查学生筛选、概括信息的能力。如：Text 10考查一段关于墨西哥华勒斯的地理知识，话题可能学生较为陌生，理解起来可能稍有困难。

从试题命制上看，今年单项选择题重语境，淡化“纯”语基的考查。因此，部分考生可能对语境较为灵活的题干把握不准，导致原本熟悉的词汇和语法点，未能识别清楚，易掉入出卷人的“陷阱”。

具体来说，语法项目的考查基本符合常规——非谓语动词、虚拟语气的省略与倒装、地点状语从句、定语从句、时态等，都是历年的高频考点。值得注意的是，今年的时态题考了3题，且考点较为灵活。如第31题，不仅考查时态这一点，还要求学生很好的掌握这一词的用法( for/be for)，看似简单，实则容易丢分。

词义辨析方面考查的基本都是常规词：25题考查动词+out的短语辨析，这一考点是近年动词短语考查的热点(2008-2017年间已经是第三次考查V+OUT的用法了)。32题的in+n+of构成的介词短语也是近年考查过的项目。30、34题四个选项的词都很常规，但是语境的设置十分巧妙，能够很好的考查学生能否在情境中正确把握词义。

完形填空考察记叙文 阅读理解区分度较高

完形填空是一篇记叙文，考查动词6个，动词短语2个，名词3个，形容词/副词5个，出题点符合常规，对学生的基本功要求很高。小语境的出题点比较多，尤其是搭配性的用法多达9处。

文本主要讲述主人公从不喜欢音乐课到对大提琴产生了浓厚的兴趣，从开始时万分同情地看着其他学习音乐的人背着乐器行走在校园，转变为自己每日早早来到学校练习大提琴。字数224(不含空格)，略低于2016年(257)。语言信息丰富，是一则逻辑性和可读性很强的文本。

此外2015江苏高考英语答案解析，完形还增加了逻辑层面的考点，如第38、40、50题。尤其是50题，学生如果忽略了下一句“But he found that he loved this ”，没有注意到这两句话间的转折关系，极容易选成take sth. 这个固定搭配。这种考法反映了考试大纲对于学生逻辑层面的要求越来越高。

今年的阅读理解A篇是一篇介绍的说明文，字数少，信息精，但是题目的设置一为推理判断题，二为写作方式判断题，考查较为灵活。B篇科普说明文，介绍了某澳大利亚研究者发现红背鹪鹩鸟在胎教方面，堪称佼佼者。选材符合的行文特点，3个题目的设置主要是细节题和推理判断题，是学生较为拿手的一种文体。C篇是阅读中较难的篇幅，话题生，反垄断措施的议题是高中生不太关注的问题，这种话题的文章更常出现于四六级的考试当中，这也从一定程度上反映了高考命题与大学英语四级考试的接轨。D篇是一篇非常有意思的文章，标题Old , New ，这篇文章的主题二氧化碳的排放、全球变暖的问题、清洁能源。文章虽然在第一段提出“Here I will some and more of .”，但其实是披着个人演讲外衣的一篇说明文，主要探究的是清洁能源的。

总之，今年阅读理解的4篇文章虽然字数比起2016年有所下降，文本生词量合理地控制在3%以内，符合考试大纲要求。但是总体来说，语篇的难易度呈现层次性，区分度较高，高分难得，有利于高考选拔。

任务型阅读难度回落 书面表达形式创新

今年任务型阅读的材料话题是“人口的变化”，文章脉络清晰，表格的设计也很合理，考点与文章的对应一目了然。尤其是表格部分，表述精炼，能够较好地辅助学生回归原文寻找答案。

题目的设置着重考查学生在信息检索、内容归纳、语言结构等方面综合能力。表格部分的表述学生基本都能看懂，但是，空格的设置十分灵活，需要学生能够精准地理解原文。学生都会做，可是在选词的准确度方面有待商榷。总体看来，任务型阅读难度基本与2016年持平，应该有较高的区分度。

书面表达继续延续了近年来的读写任务型作文，采用了类似于2015年的2则文字材料加一幅柱状图的考法。创新之处在于文字材料以对话形式呈现，对学生归纳概括的能力要求更高;柱状图则需要学生能够看出近年来中国电影票房收入的变化趋势。

从写作要求上看，首段要求学生用30个词概述柱状图信息的主要内容，学生在表述时一要概括出变化趋势，二要关注最值。第二段要求分析我国电影票房收入变化的原因，并简要谈看法。这里学生可以参照2篇文本材料部分的内容，但更多的是对原因的概括及具体阐述。第三段要求谈谈学生对我国电影票房收入走向的看法，并简要说明理由，要求学生发表自己的观点及见解，并且提出合理的理由，对于学生逻辑性的考查较为看重。

从整体上来说，今年的英语试卷不仅考查了学生的语言能力层面的知识与技能，更在文本的选取上体现了鲜明的时代性和深层次的文化渗透性;情感态度积极向上，引导学生树立正确的“三观”。命题角度的多维化，也为广大一线教师的教学提供了导向：以语基为载体，侧重多元能力培养;以阅读文本为契机，激发学生对英语语言的热爱。

5.多态，虚函数，纯虚函数

多态：是对于不同对象接收相同消息时产生不同的动作。C++的多态性具体体现在运行和编译两个方面：在程序运行时的多态性通过继承和虚函数来体现；

在程序编译时多态性体现在函数和运算符的重载上；

虚函数：在基类中冠以关键字 的成员函数。 它提供了一种接口界面。允许在派生类中对基类的虚函数重新定义。

纯虚函数的作用：在基类中为其派生类保留一个函数的名字，以便派生类根据需要对它进行定义。作为接口而存在 纯虚函数不具备函数的功能，一般不能直接被调用。

从基类继承来的纯虚函数，在派生类中仍是虚函数。如果一个类中至少有一个纯虚函数，那么这个类被称为抽象类（ class）。

抽象类中不仅包括纯虚函数，也可包括虚函数。抽象类必须用作派生其他类的基类，而不能用于直接创建对象实例。但仍可使用指向抽象类的指针支持运行时多态性。

6.求下面函数的返回值（微软）

int func(x)

{

int = 0;

while(x)

{

++;

x = x&(x-1);

}

;

}

假定x = 9999。 答案：8

思路：将x转化为2进制，看含有的1的个数。

7.什么是“引用”？申明和使用“引用”要注意哪些问题？

答：引用就是某个目标变量的“别名”(alias)，对应用的操作与对变量直接操作效果完全相同。申明一个引用的时候，切记要对其进行初始化。引用声明完毕后，相当于目标变量名有两个名称，即该目标原名称和引用名，不能再把该引用名作为其他变量名的别名。声明一个引用，不是新定义了一个变量，它只表示该引用名是目标变量名的一个别名，它本身不是一种数据类型，因此引用本身不占存储单元，系统也不给引用分配存储单元。不能建立数组的引用。

8.将“引用”作为函数参数有哪些特点？

（1）传递引用给函数与传递指针的效果是一样的。这时，被调函数的形参就成为原来主调函数中的实参变量或对象的一个别名来使用，所以在被调函数中对形参变量的操作就是对其相应的目标对象（在主调函数中）的操作。

（2）使用引用传递函数的参数，在内存中并没有产生实参的副本，它是直接对实参操作；而使用一般变量传递函数的参数，当发生函数调用时不能作为变量名的是，需要给形参分配存储单元，形参变量是实参变量的副本；如果传递的是对象，还将调用拷贝构造函数。因此，当参数传递的数据较大时，用引用比用一般变量传递参数的效率和所占空间都好。

（3）使用指针作为函数的参数虽然也能达到与使用引用的效果，但是，在被调函数中同样要给形参分配存储单元，且需要重复使用"*指针变量名"的形式进行运算，这很容易产生错误且程序的阅读性较差；另一方面，在主调函数的调用点处，必须用变量的地址作为实参。而引用更容易使用，更清晰。